直线与平面相交

直线与平面的相对位置有三种情况:平行、相交和垂直。其中垂直是相交的特例。

直线与平面平行

几何条件:若一直线平行于平面上的任一直线,则此直线与该平面平行;反之亦然。

直线与平面相交

直线与平面若不平行则必然相交。直线与平面相交,其交点是直线和平面的共有点,因此交点的投影既满足直线上点的投影特性,又满足平面上点的投影特性。直线与平面相交就是求直线与平面的交点(即求它们的共有点),并判断可见性。

1.一般位置直线与投影面的垂直面相交

某直线与平面的空间位置如下:

空间位置关系

通过空间位置关系发现,直线“穿插”过平面,交于平面上一点,该交点同时在直线上和在平面内。

正面投影

侧面投影

水平面投影(俯视图)

空间位置分析

找交点位置

通过上图对其空间位置特点分析,直线DE与铅垂面△ABC相交,交点K的水平投影k必在△ABC的水平面积聚投影线abc上,又必在直线DE的水平投影de上,因此de和abc的交点k就是空间交点K的水平投影。

定出k后,根据从属性,k′必在d'e'上,即过k作“长对正”线,与d'e'交于k',即为所求交点。

判断可见性

根据线面之间的空间相互遮挡关系,确定可见性。注意线-面交点也是其可见性的分界点。对于此类问题有两种思考方法:

(1)从重影点角度考虑

选取a'c'与d'e'的交点为研究对象,找到其在水平面的投影,发现该点在V面有一个点,在H面对应两个点,则说明V面上,a'c'与d'e'的交点为1和2点的重影点。分析这对重影点,发现1在前,2在后,而1在ac投影上,2在de投影上,说明这部分面在前,线在后。因此这部分线是虚线。

(2)从积聚性角度考虑

由于面△ABC在水平面积聚成线,因此比较容易看出来“前后关系”。选取k点右侧部分作为研究对象,发现H面的k点投影右侧,kc(属于ac)在前,ke(属于de)在后,说明面在前、线在后,线被遮挡。

直线与平面垂直

长河

工学博士,桥梁与隧道工程专业,黑龙江科技大学讲师,博客:www.10kN.com

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直线与平面相交